贾浩楠 发自 凹非寺
量子位 报道 | 公众号 QbitAI那位大范围“统一”了数学和物理学的数学家伊萨多·辛格 （Isadore Singe），去世了，终年96岁。
他是华人数学巨匠陈省身的弟子，与杨振宁、丘成桐、吴文俊同门。
他最重要的贡献，是与去世前宣称证明了黎曼猜想的数学家迈克·阿蒂亚一同提出了阿蒂亚-辛格指数定理。
这项定理打通了拓扑和分析这两个数学子领域壁垒，之后，又成了纯数学和理论物理的桥梁。
他的工作被评价为「牛顿和莱布尼兹时代以来数学物理蓬勃发展的基础」。
纽约大学的数学家杰夫-切格说：”他改变了人们对数学的看法，他表明看似不同的领域有着深刻的联系。”
他还是虔诚、狂热的数学信徒，他直言：
数学大门只对少数人敞开，对于大多数人来说，教授数学就像是给聋子解释音乐。
二战前线学数学
伊萨多·辛格1924年出生在底特律的一个波兰移民家庭，父亲是印刷工人，母亲是裁缝。
辛格一家是犹太人，初到美国只会说意第绪语，是年幼的辛格先学会了英语，然后又教会了全家人。
辛格的本科，就读于密歇根大学的物理专业。
但是由于二战爆发，才上了两年半大学的辛格，匆匆毕业，以雷达技术员的身份加入美国陆军，驻扎在菲律宾。
这时的辛格，仍然深爱着物理。
本科匆匆毕业，辛格的许多基础课程并不扎实，他发现自己学相对论和量子物理时，数学知识根本不够用。
所以，在菲律宾的军队驻地，辛格利用每晚的空余时间，通过函授课程学习数学。
为了心爱的物理去修数学，而且还是在二战前线，这样热爱物理的辛格，最后为什么「叛逃」去了数学阵营呢？
一入数学深似海，从此物理是路人
二战结束后，辛格来到芝加哥大学申请了数学系。
但是这时，他心心念念的仍然是物理。
他晚年接受采访时说，当时打算只学两年数学，基础打好后，一定要回到物理学。
但是学了一年数学之后，他的想法发生了变化。
他开始为数学而倾倒，他说，在研究数学时，他才真正感到满足。
而之前的爱的物理，远没有数学来的优雅。
就这样，辛格说，他还是喜欢跟更「漂亮」的在一起。
至于量子力学，则成了他口中那个「丑东西」（uglyness）。
任（zha）性（nan）…….
于是，他在芝加哥大学数学系申请了博士学位，而他的导师，正是华人数学大师陈省身。
师从陈省身，师徒共创数学科学研究所
陈省身是世界著名几何学家，他奠定和开创了微分几何研究，高斯-博内-陈定理和Hermitian流形的示性类理论已经成为现代数学重要组成部分。
陈省身1911年出生在浙江嘉兴，先后就读于南开大学、清华大学数学系。
在汉堡大学取得博士学位后，先后在清华、西南联大执教。
杨振宁在西南联大读书时，修过陈省身的微分几何课。
他还是中国自己培养的第一位数学硕士，1985年后回到祖国定居，主持建立了南开大学数学所。
1949年，陈省身赴美，进入芝加哥大学做教授。
陈省身教授本身的研究领域是微分几何。
在他的带动下，二战后，几乎被人们认为“已死”的微分几何学，又在芝加哥大学复兴了。
当时，陈省身的麾下，聚集着一大批日后优秀的数学家，其中就包括伊萨多·辛格。
△陈省身与杨振宁，图源：新华社
辛格在庆贺陈省身八十寿辰的文章中曾回忆说：“在陈省身的影响下，很多书出版了，学科繁荣起来了。我无需在此强调众所周知的事实：陈省身把大范围微分几何引进了美国数学……半个世纪以来，正是陈省身告诉我们应该如何去做微分几何。”
1981年，辛格还和自己的老师陈省身一同创建了美国国家数学科学研究所（MSRI）。
正是陈省身，带领辛格走上了几何学和分析数学交叉的研究方向。辛格日后主要的学术成就，都来自这个领域。
对辛格自己来说，改变计划学数学是一件幸事。
而令人意想不到的是，当初抛弃物理学的辛格，在数学方面的成就，竟然又「反哺」了物理学。
构建纯数学到理论物理的桥梁
伊萨多·辛格最重要的研究成果，就是著名的阿蒂亚-辛格指数定理。
在芝加哥大学获得博士学位后，辛格来到MIT做博士后，并在这里度过了他的全部职业生涯。
辛格擅长的优势方向是数学分析，简单地说是用微分方程来描述各种物理过程。
但彼时，没人知道如何精确求解复杂微分方程，科学家们只能用近似的方法来解决。
而英国数学家迈克·阿蒂亚，他专攻拓扑学，研究抽象的数学物体的形状，它们往往比普通的三维物体多出许多维度。
拓扑学认为形状是有弹性的，所以物体可以被拉扯或挤压而不改变其基本性质。
而数学分析则要求对象是刚性的。
当时，人们认为这两个领域似乎几乎是不可调和的。
保罗·狄拉克在1927年提出了一个描述自旋电子波函数的方程。
方程中，引入了一个“狄拉克算子”。
但在辛格之前，没有人意识到狄拉克算子对数学有多重要。
1962年，当辛格在牛津大学休假时，迈克尔·阿蒂亚和辛格展开合作，试图找到将拓扑工具应用到微分方程上的解决方案。
具体来说，他们弄清了如何定义自旋流形上的狄拉克算子，就是没有方程的精确值，也能计算出方程的解。这就是Atiyah-Singer指数定理：
对于紧流形上的椭圆微分算子，解析指数（与解空间的维数有关）等于拓扑指数（用一些拓扑数据定义）
这个结果在拓扑学和分析学之间架起了一座桥梁。
在接下来的十年里，Atiyah博士、Singer博士和其他人在此基础上不断拓宽和发展，创造了一个新的领域——指数理论。
指数理论打破了拓扑和分析学壁垒，“桥梁意义”不言而喻。
当时，物理学界对阿蒂亚和辛格所证明的内容一无所知。
在整个20世纪60年代和70年代初，物理学家和数学家似乎居住在两个不同的世界。
物理学家正在研究规范场，试图统一四种基本力中的三种—电磁力和弱相互作用力和强相互作用力。
而数学家则在研究 拓扑学中的纤维丛，它是在每个点上附着一个平面矢量空间的弯曲空间。
但在1975年，辛格以前的学生吉姆-西蒙斯（Jim Simons）和他在石溪大学物理系的同事杨振宁一起讨论时意识到
杨振宁提出的规范场理论 ，其实就是拓扑学中的纤维丛。
这种观点的中心思想是，椭圆微分算子的行为与狄拉克算子一样。而狄拉克算子是所有其他算子必须遵循的模板。
通过这种联系，阿蒂亚-辛格指数定理适用于物理学，就像它适用于数学一样。它给数学带来的革命现在也延续到了物理学。
这一进展堪称20世纪末数学和物理学统一的大爆炸，而伊萨多·辛格就是那个点燃火花的人。
「数学大门只对少数人敞开」
对于大多数数学家来说，哪怕只有一个同名定理，也是事业的巅峰。
在MIT的执教和研究生涯中，除了阿蒂亚-辛格指数定理，辛格还留下了许多以自己名字命名的定理公式。
在全局微分几何学中，有安布罗斯-辛格定理。
在C*代数中，有一个重要的猜想，叫做Kadison-Singer问题，是基于他们关于三角算子的论文。
雷-辛格扭转（也叫解析扭转）在拓扑学和物理学上有重要的应用。
麦肯-辛格则公式将热方程方法引入指数理论。
作为数学家，辛格可谓成果颇丰。
而他对于数学的看法态度，也与之前量子位介绍过的“玩数学”的大师康威不同。
他对数学，更加严肃、虔诚。
在晚年的采访中，他说，对于大多数人来说，教授数学就像是给聋子解释音乐。
而「真正的数学大门，只对少数人敞开」（available for few people）。
参考链接：
https://www.simonsfoundation.org/2009/08/25/isadore-singer/
https://www.nytimes.com/2021/02/12/science/isadore-singer-dead.html
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（王治强 HF013）
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