回顾氢原子、介绍谐振子，《张朝阳的物理课》进入新阶段

2 月 4 日 12 时，《张朝阳的物理课》第二十五期如期开播。搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间，开讲谐振子问题。经历了前几节课对薛定谔方程的详细求解，这节课先是回顾了最初的氢原子的二体薛定谔方程的质心运动与相对运动的分解、角向与径向的分解，最终求得完备算符集的共同本征函数，得到氢原子的波函数和相应的能级，并且从氢原子拓展到其它多电子原子。接着张朝阳开始讨论与氢原子问题同样重要的谐振子模型，简介了其重要性与普偏性，并预告下节课将要推导的谐振子能级及其应用。

恰逢正月初四，张朝阳在直播间先给网友拜年，“我们花了很多课，来讲量子力学和氢原子问题。”他说，“今天，我们要来讨论与氢原子同等重要的谐振子问题。我们来认识一下它的重要性和普遍性。”

回顾氢原子问题 跳出细节、俯瞰全局

张朝阳带着网友复习之前讲过的重点内容。“氢原子是电子和质子由于库伦势的吸引而组成的，是二体系统。”他介绍说，“这种系统的薛定谔方程不好直接求解。”

此前的课程揭示，解决思路并不复杂。由于库伦势只跟电子和质子之间的相对距离有关，所以，可将二体系统的定态薛定谔方程，分解为质心运动部分与相对运动部分。质心运动部分非常容易直接求解，并且与氢原子的内部结构无关。重点只需关注相对运动部分的定态薛定谔方程。

为了更便捷地求解，张朝阳引入角动量算符的概念，他表示，“相对运动的哈密顿量算符，可表示为径向动能与角动量算符的平方的组合。”通过繁复的公式推导，他和网友们得出一个结论：哈密顿算符，角动量算符的平方，以及角动量算符的 z 分量，三者是相互对易的，它们构成一组完备的算符集。“也就是说，只需求得算符集的共同本征函数，即可求得定态薛定谔方程的解。”他说。

他继续解说，由于电子与质子之间的库伦势，与它们之间的方位无关，只与相对距离有关，故相对运动部分的定态薛定谔方程，可分为角向部分与径向部分。通过求解角动量算符的平方与角动量算符的 z 分量的共同本征函数，可求得角向部分的波函数，以及相应的分立的量子数。至于径向部分，则可通过分析 r 趋于 0 与 r 趋于无穷时候的渐进行为和边界条件对径向薛定谔方程进行变形与化简，最终用级数展开的方法求得径向波函数及对应的量子数，并最终求得氢原子的能级。

他告诉网友，“根据分离变量法，将求得的角向波函数与径向波函数乘起来，就得到了完整的氢原子波函数，从而完成氢原子薛定谔方程的求解。”

研究多电子原子 考虑库伦排斥引入屏蔽效应

“完成氢原子薛定谔方程的求解，并得到氢原子的波函数和能级后，就能知道原子核外电子如何绕核运动。”他解释说，解得的氢原子波函数用三个量子数描述，分别为主量子数 n，角量子数 l 与磁量子数 m。能级只与 n 有关，在同一能量下，角量子数可取 n 个值，从 0 取到 n-1，电子绕核运动的轨道分别命名为 ns，np，nd，nf.....；在确定的角动量 l 下，磁量子数 m 可取 2l+1 个值，从-l 到 + l。

张朝阳将氢原子的这些电子轨道扩展到多电子原子体系。“氢原子以外的其他原子都有多个电子，电子之间有排斥的库伦相互作用，定量地直接求解这些三体以上的薛定谔方程是非常困难的，”他指出问题所在和解决方法，“这里就做一些近似与假设，来定性地讨论。”

“先来看除了氢原子以外最简单的原子，氦原子。”他带着网友一步一步推导。氦原子的两个电子都在 1s 层，假设它们是球形分布在原子核周围的，由于电子之间的库伦排斥力，其中一个电子感受到的原子核电荷数将受到屏蔽，通过变分法计算，氦原子的电子感受到的核电荷数 Z 不再是 2，而是 27/16。于是可以等效地认为电子之间相互独立，只是它们感受到的核电荷数会由于屏蔽而减小。

再看锂原子，它有三个电子，根据泡利不相容原理以及上述讨论的量子数取值范围，1s 轨道只能填充两个不同自旋取向的电子，第三个电子只能被挤到 2s 轨道了。但由于 2s 轨道在 1s 轨道外面，内层的两个电子会强烈屏蔽 2s 电子感受到的核电荷数，经过简单计算与分析，虽然 2s 电子感受到的核电荷数不是简单地减小 2，但受到的屏蔽效应远远比氦原子电子受到的同一层电子的屏蔽效应要大得多。

通过解释氦原子与锂原子，张朝阳告诉网友，同一壳层电子的屏蔽与不同壳层的屏蔽后，就可以定性地知道其它多电子原子的核外电子如何排布了，从而对一些化学问题得到初步的解释。

振动、声子与比热 从谐振子模型说起

“除氢原子外，谐振子也是量子力学中非常重要的研究对象，并且其薛定谔方程跟氢原子一样有解析解。”张朝阳继续讲解，谐振子模型中物体振动时的恢复力，与物体偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。对于一个有稳定平衡点的体系，在势能极小值点附近常常可以近似为谐振子势，这一模型体系在物理中非常普遍的。

例如经典力学中，声波里空气的振动，弹钢琴时琴弦的振动、小角度的单摆；又例如量子力学中的黑体辐射，双原子分子的振动动，超导体中的声子等等。张朝阳还预告下节课将求解谐振子薛定谔方程并得到相应能级。

他解释，其中，n 是大于等于 0 的整数，也就是说谐振子的能级是分立且等间距的，这与经典力学非常不同，但是与普朗克推导黑体辐射时的假设一致，从而得到正确的黑体辐射公式。

另外需要注意的是，谐振子能量的最小值不为 0，这能解释双原子分子的比热问题。双原子分子有三个质心平动自由度、两个转动自由度、一个振动自由度，除了这些动能的自由度外，双原子分子之间的一个振动自由度对应的势能也可以储存能量，也贡献一个自由度，这样一共有 7 个自由度，按照能均分定理，其总内能应该是 7/2kT，但是实验测其比热容表明其内能是 5/2kT。

这正是因为振动能的最小值不为 0，并且比其它自由度的最小激发能都大，在常温下分配给各个自由度的能量只够激发其它自由度的能量，有关振动的自由度被冻结了，于是有效的自由度从 5 变成 7 了。

他说，“总之，求解谐振子的薛定谔方程，不仅能再次熟悉薛定谔方程的解法，得到的结论还有非常多的物理应用，所以下节课将对其展开深入的研究。”