本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），作者：刘元兴（中国科学院大学人文学院在读博士） 、国荣祯（中国科学院理论物理研究所在读博士）
2022 年诺贝尔物理学奖颁发给三位从事量子纠缠相关实验的物理学家，获奖理由中直接提到了“贝尔不等式”，这让北爱尔兰物理学家约翰・贝尔再次回到了人们的视野。贝尔以量子力学基础方面的研究而著名，特别是提出了贝尔定理和贝尔不等式，他告诉了我们物质微观世界遵循难以想象的规律，如今这已成为量子信息领域的基础。事实上，这些令他载入史册的成就是“业余”所为，他一生中长期就职于欧洲核子研究中心，在加速器、核物理和基本粒子等方面同样做出了杰出贡献，还被称为“CERN 的圣人”。在贝尔不等式获得诺奖的这一年，我们谨此纪念贝尔不凡的一生。
2022 年诺贝尔物理学奖颁给了三位物理学家阿兰・阿斯佩（Alain Aspect），约翰・克劳泽（John F. Clauser）和安东・蔡林格（Anton Zeilinger），以表彰他们在纠缠光子实验与贝尔不等式实验研究方面的成就。这其中贝尔不等式无疑是这些科学家工作中最重要的基础之一，而贝尔是谁呢？他并不是我们所熟知的那个电话之父或以贝尔实验室闻名的亚历山大・贝尔（Alexander Graham Bell），而是约翰・贝尔（John Stewart Bell）。
图 1 约翰・贝尔（John Stewart Bell，1928.7.28-1990.10.1） 图片来源：维基百科
1928 年，贝尔出生于北爱尔兰的首府贝尔法斯特 —— 一座历史悠久且有着辉煌的过往的城市。18 世纪 60 年代，工业革命在英国兴起，贝尔法斯特受益于此，到 19 世纪初这里成为了世界最大的亚麻产品生产地。同时它还有着世界首屈一指的沃尔夫船厂（Harland and Wolff Shipyard），著名的“泰坦尼克号”就是这里铸造的。但是二战过后，这座城市开始走了下坡路，又因北爱尔兰的归属问题，这座城市陷入巨大的混乱，无论是经济还是政治都受到了打击。贝尔正出生于这样一个时代。
贝尔是家中的长子，他有一个姐姐和两个弟弟（图 2），他的父亲杰克（Jackie）是一名普通的工人，母亲安妮（Annie）则是商店的店员。贝尔的双亲都只接受过非常基础的教育。贝尔的父亲家境一般，母亲出身于家道中落的显赫人家 —— 贝尔的外祖父曾是一名非常成功的商人。外祖父深深影响了贝尔的母亲，安妮持家有方，即使如今生活贫穷，她也总能开源节流，让一家人过得充实和快乐。她曾经给孩子们买了一辆二手自行车并回忆道：他们骑起来就像新的一样有趣 [1]。通过这件事，笔者猜测，贝尔在青年时期之所以非常喜欢骑摩托车，除了受他当时所住之处的环境影响（在当地，年轻小伙子们都酷爱骑摩托车 [2]），也受到童年“自行车事件”的影响。而后来贝尔一直留着胡须，相传是因一次严重的摩托车事故，他的嘴附近留下了一道很深的割伤 [3]，就以浓密的胡须掩盖。
贝尔自小就不同于其他人，他的家庭信奉圣公教，身边也有很多人信奉天主教，贝尔却坚持自己对真理的追求，即使信教可以带来切实的好处（比如在学校时，信爱尔兰教的小朋友进入足球队的几率会增加 [4]），也不相信任何教。但是他却是一名坚定的素食主义者。根据贝尔的妻子所说，他是受爱尔兰著名剧作家萧伯纳的影响成为了一名素食主义者 [5]。贝尔的妈妈安妮也曾回忆起这样一个故事：有一年圣诞节，贝尔闻到了烤火鸡的味道后便评论到：“我闻到了一具尸体在燃烧。”或许这种对动物的怜悯之情是贝尔成为一名素食主义者的另一原因。
图 2 一次家庭外出：上一排从左是贝尔的祖母布朗利太太（Mrs Brownlee）、姐姐露比贝尔（Ruby Bell）和母亲安妮贝尔，下一排从左是弟弟大卫（David）、贝尔和弟弟罗伯特（Robert）图片来源：参考文献 [6]贝尔自幼聪慧，精通纸牌和国际象棋，还非常喜欢展示自己所学，他总是和家人甚至陌生人讲述他所掌握的知识。虽然不是所有人都喜欢他这样的性格，但是父母为贝尔擅长自我表达的能力感到高兴。此外，贝尔的动手能力也非常强。他曾经用一个在内部被涂黑，其盖子顶部被扎开一个小洞的芥菜罐头，一张感光相纸，在昏暗的红光暗室（浴室）里，制作一台针孔照相机 [7]。
上学后，贝尔的成绩一直名列前茅，而在他 11 岁的时候，他就表达过自己想要成为一名科学家的愿望。但对于贝尔法斯特的孩子们来讲，可以享受的免费义务教育到 14 岁就截止了，之后的教育就要支付一大笔学费。贝尔的父亲在年仅 6 岁时就出来帮家里赚钱，但家境一直不宽裕，再加之教育政策的影响，他自然地认为贝尔在 14 岁时就应该离开学校去另谋生路 [8]，但母亲鼓励贝尔继续读书。贝尔前几次想读自费中学，可学费都成了拦路虎，最终因得到了贝尔法斯特技工中学（Belfast Technical High School）提供的奖学金才顺利入学 [9]。而贝尔的姐姐露比就没那么幸运了，虽然她也拿到了学校的奖学金，但由于受到重男轻女的观念影响，她没能继续学习，贝尔的另两个弟弟大卫和罗伯特也同样在 14 岁的时候早早辍学开始赚钱。
中学一开始的时候，贝尔对古希腊哲学产生了浓厚的兴趣。在阅读过大量的哲学书籍后，他却失望地发现所谓的“好哲学家”的定义不过是他们可以驳倒其他哲学家，并且哲学要解决的是非常大的问题，对于贝尔来说，这些问题的解答没有取得任何进步 [10]。而当他开始接触物理学时，他惊喜地发现，物理学的进步要明显好于哲学。从这时起，贝尔又重拾旧梦想，在心中逐渐埋下了成为物理学家的种子。但是他对学校里物理学刻板的教学并不是很满意。中学时代的贝尔是个不折不扣的优等生，不过除此之外并没有展现出什么过人的天赋。
16 岁高中毕业的贝尔因不到入学年龄，又无力负担学费，未能顺利进入大学学习。在这段时间，他开始找寻能暂时养活自己的工作。他面试了许多工作，比如小工厂里的勤杂工、英国广播公司（BBC）的初级工作，但是最终都没有成功。因为这些工作的雇佣者们认为贝尔的条件太好了，并且在参加工作时，贝尔的身体语言无不倾诉着，他不想做这份工作 [11]。幸运的是，贝尔在贝尔法斯特技工中学时期所学的许多实用技能帮助了他，使他得以找到了一份在贝尔法斯特女王大学（Queen’s University）担任物理系技术助理的工作，并留在系主任卡尔・乔治・艾米留斯（Karl George Emeléus）手下做事 [12]。这期间他还被允许旁听物理课程。在有了一定的物理学基础并攒够了学费后，他于 1945 年正式入学女王大学。
贝尔在大学时期依旧保持着喜欢表达自己的特点，也喜欢上了与别人辩论。他在学校里经常参与小组活动，贝尔不仅仅只关心物理学，同时还参与哲学、政局等讨论活动。
贝尔在大学初期师从艾米留斯和罗伯特・哈宾森・斯隆（Robert Harbinson Sloane）。贝尔在入学的第一年就直接通过了第一学年科目的考试，进入二年级的学习。后来他学习了量子力学和相关的哲学问题，并深深受到了德国伟大的物理学家玻恩（Max Born）《关于因果和机遇的自然哲学》（Natural Philosophy of Cause and Chance）一书的影响 [13]—— 他被量子力学深深的吸引了，尤其是量子力学诡异的波函数坍缩，使他如痴如醉，这也成为了伴随他一生的研究方向之一。贝尔与两位老师相处在大部分时候是非常融洽的，但是每当贝尔向老师提问到有关量子力学的问题时，他们总是针锋相对，不能互相说服对方。贝尔认为老师的解释不能帮助他更好的理解量子力学，老师们也在贝尔的追问下变得没什么耐心了 [14]。
贝尔在女王大学的最后一年有幸师从保罗・埃瓦尔德（Paul Ewald），一名由于德国政治灾难而来到爱尔兰的物理学家。他曾担任斯图加特理工大学校长，同时也是 X-射线晶体学创始人之一。这同样是埃瓦尔德在贝尔法斯特的最后一年。贝尔与埃瓦尔德之间产生了微妙的化学反应，他们之间无话不说，贝尔给埃尔瓦德留下了深刻的印象 [15]。贝尔也终于在他毕业前的最后一年如愿以偿地着手研究长链分子的量子力学。在贝尔做毕业论文的时候，埃瓦尔德曾建议他去拜访鲁多尔夫・佩尔斯（Rudolf Peierls），一名同样是德国流亡的顶尖理论物理学家。但贝尔受到当时家庭情况的制约，想要直接去工作，并没能遵循导师的建议。不过贝尔与鲁多尔夫・佩尔斯的缘分并没有尽，在未来二人依旧产生了交集。1947 年贝尔取得了实验物理学一等学位，并在一年后取得了数学物理学一等学位。
对于战后的科学家而言，更为“实用”的物理学无疑要比理论物理学可以赚到更多的薪水。即使贝尔十分热爱量子力学，但是他深知这只能作为他的业余爱好，并不适合作为自己的全职工作。在这样的背景下，1949 年贝尔选择来到了位于哈威尔（Harwell）的英国原子能研究机构（AERE）找工作。贝尔的简历并不起眼，他既没有博士学位，也不是毕业于名校，跟其他人比起来十分没有竞争力。好在他在这里遇到了自己的伯乐富克斯（Klaus Fuchs），他将贝尔安排在了理论物理部门研究反应器 [16]。几个月后，富克斯因为间谍活动而被逮捕，贝尔便跟随另一位非常赏识和关心他的人 —— 比尔・沃金肖（Bill Walkinshaw），来到了距哈威尔 80 英里外的马尔文学院（Malvern College）参与设计直线加速器。贝尔最开始研究则是关于医用直线加速器的研究。在这里，贝尔对于基础物理的深刻理解，以及极强的数学才华，在他的加速器理论研究中起到了至关重要的作用。沃金肖曾如此评价贝尔：
“这曾经有一个年轻的有着极高素质的男人，他可以很快地独立选择所要研究的项目，并对粒子动力学有着特别的嗜好。他的数学才干精湛且超凡。” [17]
贝尔的才华终于在这里施展拳脚，他先后在加速器物理与高能物理两个领域发表了多篇文章，甚至很多年后科学家们所犯的巨大错误，贝尔在很早时就已经指出来过 [18]，我们会在之后介绍这件事情。
对于贝尔来讲，另一件终身大事也到来了。他在这里邂逅了自己的工作伙伴、未来的妻子玛丽・罗斯（Mary Rose）。玛丽出生于苏格兰，她的父亲是一名职员。她的母亲则是一名小学老师。在家中除了玛丽外，她还有两个姐姐，他们一家都是素食主义者。玛丽小时候就对数学和物理学展现出了极大兴趣，她的父母非常支持她读书。在拿到奖学金后，她选择来到格拉斯哥大学（University of Glasgow）学习数学和物理学，之后因为战争的原因，1944 年她被借调到了马尔文的电讯研究所（Telecommunications Research Establishment）做与雷达相关的研究 [19]。在拿到物理学和数学博士学位后，在 1947 年她返回了哈威尔，并在 1950 年再次来到了马尔文工作 [20]。无论是由于工作时被对方的才华和严谨的工作态度所吸引，还是因为二人都是素食主义者，他们之间擦出了爱情的火花。当时，有人问贝尔哪个是玛丽，“是胖的那个，高的那个・・・・・・”，贝尔回答道，“不，是漂亮的那个”[21]。贝尔还曾在他的《量子力学中可言说和不可言说的》（《Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics》）一书的前言里写到，“当我回看这些文章的时候，到处都是玛丽的身影”[22]。他们不仅是生活中的知音，更是科学研究中的合作伙伴（图 3）。
图 3 玛丽和约翰贝尔在巨石阵 [23]一石激起千层浪的“业余爱好”
1952 年，得益于当时 AERE 支持年轻人获得更高学位的政策影响，贝尔决定进一步地深造自己 —— 读博。起初贝尔希望攻读场论，他把目标放在了格拉斯哥大学和伯明翰大学。他最终选择来到伯明翰，师从曾经没能拜访的鲁多尔夫・佩尔斯。虽然佩尔斯明确反对贝尔做量子力学的基础理论研究，但是贝尔始终执念着量子理论中那些困扰他的问题，所以他还是选择了量子场论作为研究方向。最终，他于 1956 年在伯明翰大学获得了博士学位。
在贝尔心中，量子力学一直是一个打不开的结。他像学生时代一样一直保持着对量子力学发展的追踪与思考。贝尔对他所接触到的量子力学的诠释不满由来已久。
首当其冲的正是“闭嘴计算”（“Shut up and calculate”）的教学法。他参与的量子力学讲座是一门工具性极强的课程 —— 给出薛定谔方程、求解波函数、解出能级，求解光谱 —— 贝尔对此深感疑惑。这些数学操作固然很好，但量子理论难道不需要哲学吗？我们对物质世界的实际感知是什么？这些方程背后是什么呢 [24]？
而后，不确定性原理成为贝尔对量子力学的困惑之源。贝尔对不确定性原理最大的困惑是：真实的物理中，在观测者做任何测量之前，是什么决定了动量和位置的存在有多精确？贝尔怀揣这一问题去看一本接一本的量子力学专著，但不论是玻恩的《原子物理学》（Atomic Physics）还是狄拉克（Paul Dirac）的《量子力学原理》（The Principles of Quantum Mechanics）都没能解答他的困惑。
哥本哈根诠释里测量所处的特殊地位也令贝尔深感不安。他当然认识到，在科学中，测量的作用是最重要的。为了了解一个特定的物理量，我们必须测量它。但贝尔的观点是，当我们在科学意义下测量一个物理量时，我们一定是在努力获得一个在测量之前就存在的值。他认为，科学的主题不应该仅局限于测量的结果 —— 它应该研究在没有测量的情况下存在的东西。也正因此，贝尔宣称自己是“爱因斯坦的追随者”—— 他是一名坚定的实在论者 [25]。
最后，贝尔对玻尔（Niels Bohr）在量子力学的基础问题里经常出现的精巧的“语言寓言（parables）”完全不感兴趣。相比起那些充满思辨意味的话语，贝尔更关心牢靠的数学与事实证据 [26]。
对哥本哈根诠释的种种不满鞭策着贝尔的思绪。终于，到 1952 年，机会出现了。他读到了 1952 年戴维・玻姆（David Bohm）关于隐变量的文章 —— 这时的他逐渐将眼光聚焦在了约翰・冯・诺依曼（John von Neumann）和 EPR 佯谬上。
事实上，EPR 问题在当时并没有我们今日想见的引人注目。尽管这是爱因斯坦领衔发表的论文，但玻尔的回复也很快。此时学界的普遍认知是，哥本哈根学派已然解决了量子力学中棘手的概念问题，而爱因斯坦在 EPR 问题中的责难只能认为是他本人尚未调整好自我的认知来拥抱全新的理论。据贝尔的好友莱斯利・克尔（Leslie Kerr）所说，贝尔最早接触 EPR 问题并非是直接看到 EPR 的原始论文，而是通过玻姆的名著《量子理论》（Quantum Theory）一书首次知晓。
贝尔本人则被这一问题深深吸引住了 [27]—— 玻姆在书中的叙述兼顾了对物理实在问题的探讨，又用简练的方式讨论了其中的技术细节。同时，玻姆本人在隐变量理论上做出了许多有用的进展。从这个角度上讲，玻姆可以被视为贝尔在量子力学研究中的一位领路人。
而贝尔本人在阅读玻姆 1952 年的论文后，他的兴奋之情溢于言表。如玛丽所言，“用他自己的话来说就是，‘这篇文章于我而言如同神启’。”[28] 他仔细消化了玻姆的文章，并且在玻姆前来做报告时向他积极提问。与会者回忆时曾言，贝尔的提问明显可以看出他对玻姆的论文有过非常细致的研究。而这也指引着他深入了解冯・诺依曼的工作，因为玻姆的行文里一直在表现出对冯・诺依曼书中证伪隐变量存在的怀疑，可玻姆本人却未能找到严格证明自己观点的方法。而这一点则在数年之后由贝尔来完成。
1960 年，贝尔和玛丽进入欧洲核子研究中心（CERN）工作，此前在马尔文工作时他们与 CERN 就有很多交集，而贝尔被粒子物理所吸引，他们就正式加入了 CERN。贝尔在理论部门，玛丽则加入了加速器研究小组 [29]。贝尔的主要工作是粒子物理和加速器的研究，但是他从未停止过对自己“业余爱好”—— 量子力学基础理论的思考。1963 年，贝尔和妻子获得了一次休假的机会，他便全身心投入到量子力学的研究中，还分别拜访了斯坦福大学、威斯康星大学和布兰德斯大学。在斯坦福大学做短期的访问学者时，贝尔完成了第一篇阶段性成果的论文 ——《论量子力学的隐变量问题》（On the problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics）。这篇文章中，贝尔犀利地指出了冯・诺依曼的经典名著 ——《量子力学的数学基础》（Mathematical Foundations of Quantum Mechanics）一书中为证伪隐变量的存在性而使用的数学假设存在着漏洞：
“任意两个厄米算符的实线性组合都是可观测量，任意两个厄米算符的实线性组合之期望正是该两个厄米算符各自期望的实线性组合。”
贝尔对此的论证也十分简单，他使用了一个自旋为-1/2 的粒子，考虑构造其态空间上的最一般的厄米算符，发现至少一些可以简单构造出的隐变量理论并不满足冯・诺依曼所说的假设，从而提供了一个简单而有力的反例。并且姚赫（Josef- Maria Jauch）与派伦（Constantin Piron）联名发表的论文与安德鲁・格里森（Andrew Gleason）的论文中类似的问题 [30]。由于杂志社编辑的问题，贝尔的论文一直到 1966 年才得以问世，他也在文中道出，他其实对这一问题的思考可以追溯到 1952 年 [31]。贝尔成功地证明了隐变量解释并没有完全被驳倒。
由于找到了冯・诺依曼严密的数学推导中的漏洞，贝尔获得了十足的信心来冲击量子力学的非定域性问题。贝尔的第二篇阶段性成果的论文是他最为著名的论文《论 EPR 佯谬》（On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox）。这篇文章里，贝尔将视线集中在了玻姆版本的 EPR 悖论上。
与我们一般熟知的基于粒子自旋的 EPR 佯谬不同，爱因斯坦的原始论文里纠缠在一起的量子态是两个粒子的位置状态。后来，玻姆将其转换成我们如今所熟悉的自旋态的纠缠。这样的处理与当年玻爱二人初始的交锋有很大关联。爱因斯坦的原始构想是，他们构造的双粒子纠缠的测量问题得以暗示粒子可以同时具有确定的位置与动量，故而玻尔的回应则是重申在哥本哈根学派下几近成为共识的不确定性关系。然而，EPR 问题真正的关键其实并不在此，而在于当观测者知晓纠缠粒子对的其中一个的状态，另一个粒子的状态旋即而定的事实，也即局域性的问题。爱因斯坦本人在之后也再次澄清过自己的看法，但玻尔似乎没有注意到这一点。而玻姆的改造则将原始的 EPR 问题以更为清晰且更具操作性的方式点出了。
在当时的贝尔看来，玻姆之前提出的隐变量理论虽然可以复现众多传统量子力学的预言，但本身却具有极为鲜明的非局域性特征。而 EPR 佯谬直指局域性问题，玻姆却认为，EPR 所指出的量子力学的非局域性问题会由隐变量解释来克服。二者之结合似乎暗示，存在着一个局域隐变量理论，它既可以复现量子力学的重要预言，又可以克服 EPR 佯谬中令人不安的非局域性特征。但贝尔证明了，没有任何局部隐变量理论可以再现量子力学的所有统计性预测，这一说法后来被称为贝尔定理 [32]。
贝尔定理表明，局域隐变量理论与量子力学之间的差异不只是纯思辨层面的，而且它们一定具有可测量的不同 —— 人们可以依托具体的实验来为二者下达最终的判决。而贝尔依托原始的 EPR 实验与玻姆版本的修正，很快找到了具体的操作手段。贝尔发现玻姆改良后的 EPR 实验里，对两个粒子的自旋分量测量始终都沿着相互垂直方向的。这一点源于原始的 EPR 论文，因为爱因斯坦考虑的位置-动量关系与自旋互相垂直方向的关系都具有相同的量子力学的代数起源。前人的工作的确证明了，如果讨论的测量始终限制在同方向或相互垂直方向自旋分量上，量子力学的测量结果与局域隐变量的测量结果并没有区别。可是一旦引入任意方向的自旋测量，二者的区别便再也无法掩盖。贝尔推导出的贝尔不等式，正是刻画了任意的局域隐变量理论下这类测量结果的共性，而传统量子力学的测量结果一定不会满足这一不等式。故而，通过设计实验检验贝尔不等式成立与否，就成为裁决两个理论，甚至是两种世界观的公正裁判。
虽然贝尔在写下贝尔不等式的初衷是希望证明爱因斯坦是对的，但却被用来证明爱因斯坦是错的。在哥本哈根诠释对无数微观现象的解释大获成功的年代，如若没有怀揣对其哲学外延的不安情绪，是不可能做出这样的工作的。不过，当阿斯佩的实验成功后，贝尔也公正地评价道，“这个实验表明爱因斯坦的世界观是站不住脚的。”[33]
这其中有趣的一点是，在投稿过程中，对于在斯坦福大学的贝尔来讲，很自然地应该选择《物理评论》（Physical Review），但是物理评论要收取一笔高昂的版面费，而贝尔认为作为访学者管斯坦福大学要这笔费用是非常不礼貌的 [34]，所以贝尔选择将这篇文章投给了一个并不出名并且只发行至 1968 年的杂志《物理》（Physics）。
虽然贝尔是因为量子力学上的研究而被人所熟知，但毕竟量子力学只是他的业余爱好，加速器物理和高能物理才是他的主业。
贝尔在上个世纪五十年代的加速器研究多是在 AERE 中完成的，主要为建造直线加速器提供数学方法，并且这些方法时至今日依旧能当作一个大规模计算机程序的起点 [35]。
这里所指的数学方法是对加速器原理中重要的强聚焦系统下粒子束流的运动建立了一般性的理论。所谓的强聚焦系统，依靠的是两类不同性质的磁铁 —— 聚焦磁铁与散焦磁铁。带电粒子在聚焦磁铁与散焦磁场的特定排列组合下，可以让粒子束流越来越集中的同时维持粒子束流的稳定性，就像光束在凸透镜和凹透镜组下表现的那样。最早在处理强聚焦问题时，大家都非常自然地采用传统方法，即基于运动方程来对粒子束进行轨迹分析。但是对于最一般的设计，基于微分方程的分析未免显得过于笨重且繁琐，而最方便的方式是用矩阵来处理。贝尔在 1953 年写作了《强聚焦系统的基础代数》（Basic Algebra of the Strong Focusing System）一文，详细介绍了强聚焦问题下的矩阵处理方式，并在其中引入了这一系统里重要的不变量，现在一般被称为库朗特-施耐德不变量（Courant–Snyder invariance）。需要强调的是，贝尔的工作是独立于库朗特（Ernest D. Courant）进行的。布鲁克（Phil Burke）与珀西瓦尔（Ian Percival）在他们的传记回忆录里写道，贝尔的这篇文章“极有影响力…… 当时所有的加速器设计者都曾阅读过”[36]。
贝尔在这一时期的另一项重要工作，是 1954 年在 AERE 报告中发表的《直线加速器的相振动》（Linear accelerator phase oscillations）一文。这篇文章也是贝尔的妻子玛丽参与编写贝尔的论文集时，为他这一时期的研究精心挑选出的代表作，表现出其对贝尔这个工作的推崇。这篇文章的主要“对手”是加速器物理的两位重量级人物，赛伯尔（Robert Serber）与帕诺夫斯基（‘Pief' Panofsky）。（顺带一提，这个打引号的名字是帕诺夫斯基的亲朋好友们给他起的，因为他们觉得他的原名太难念了。）
直线加速器内，电子束的加速是在波导管内依托周期性变化的电场进行的。基于简单的电动力学，我们知道，波导管内的电场由若干种不同的傅里叶模式组合而成。那么当研究这类电子束的加速问题时，是只需要考虑某个基本频率的模式的影响，还是要考虑全部模式的贡献呢？斯莱特（John C. Slater）在 1948 年的文章支持前者，而赛伯尔与帕诺夫斯基分别在 1948 年与 1951 年的研究都认为影响决于加速电场的具体形式。贝尔的这篇文章支持前者的观点。
贝尔的计算是直接对任意的加速场展开的。两位专家的错误在于，他们的具体计算中做了不恰当的近似。物理学如何做一个好的近似是一个极为深刻的问题，对近似的处理能够看出物理学家能力的高低。如玛丽所说，贝尔的这篇文章是以直线加速器内任意加速场下相对论性粒子动力学的哈密顿形式为基础的。更深入地说，贝尔文章的分析仍建立在库朗特-施耐德不变量的运用之上，原始的哈密顿形式保护了重要的动力学不变量，因此保护了动力学演化。这也印证了贝尔对基础理论深刻的理解。
不过，这篇文章并没有投给杂志发表，而是作为研究所内部报告。玛丽称，后来的科学家们依然在犯贝尔本文中所指出的错误 [37]。
在八十年代，贝尔的兴趣重新回到了加速器物理的领域。随着加速器能量与亮度的提高，量子涨落对加速器内粒子束流的影响就会变得愈加显著。五十年代时，一个加速器设计者尚可以只凭借自己对经典理论之熟稔而游刃有余地开展工作 —— 就像前文所说的贝尔那样 —— 可到了八十年代，人们不得不要在传统的加速器研究中系统且严肃的对待量子效应。同时，八十年代的 CERN 也在进行着诸多加速器相关项目的研发，像是初始制冷实验（Initial Cooling Experiment，ICE）与大型正负电子对撞机（Large Electron-Positron Collider，LEP，在 2000 年末已拆除）。无论是物理上的研究兴趣还是其所在单位的研究需要，最后都促使了贝尔回归五十年代的研究主业上来。
在 ICE 方面，贝尔的研究主要集中在对粒子束流制冷技术的研究。粒子束流的研究中有一个重要的物理概念，称为发射度，它指的是粒子束流在相空间下所占据的面积。越低的发射度就意味着对应的粒子束流具有更为集中的空间分布，同时还可具有比较一致的动量分布，也就意味着粒子束具有更好的品质。粒子束流的制冷，指的正是压低粒子束发射度的技术。贝尔对于这一技术的几个重要的技术方向，像电子制冷（Electron Cooling）、随机制冷（Stochastic Cooling）与辐射阻尼等都有深入的研究。特别值得强调的是，当研究辐射阻尼作为粒子束制冷技术时，贝尔又一次 —— 就像在强聚焦问题时那样 —— 依凭自己深厚的物理学功底发展出了一般化的形式理论。这次他的理论工具是拉格朗日括号与拉格朗日不变量。
针对 LEP，贝尔深入研究了加速器内的辐射阻尼与量子韧致辐射问题。由于在直线加速器上的经验 [38]，贝尔得以通过非常简单的公式直接计算出加速器中储存环轨道的辐射阻尼，而传统方法则是用复杂的轨道计算来实现的 [39]。贝尔在 LEP 有关的研究中，另一类十分惹眼的工作则与弯曲时空量子场论中极为重要的效应 —— 安鲁效应（Unruh Effect）有关。安鲁效应是一种加速观测者会发现自己的真空充斥着热辐射的效应，其与大名鼎鼎的霍金辐射关系密切。但是安鲁效应产生的热背景温度极低，以至于直到今日，如何探测安鲁效应也是一个学界争议不休的话题。而在这个问题上，贝尔给出了自己的探测思路 —— 在加速器内观测被加速的电子束流的特征。用贝尔自己的文章标题来说，“电子是一个被加速的温度计”。贝尔系统性的研究了安鲁效应对于电子束流的诸多可观测效应的影响。这也是贝尔作为杰出的理论物理学家与实验物理学家双重身份的一个缩影。
此外指的一提的是，贝尔对经典力学和经典场论的深刻理解让笔者无意间捕捉到了贝尔学术生涯里另一件有趣的“小事”：朗道（Lev Landau）栗弗席兹（E. M. Lifshitz）出版的著名的“朗道十卷”——《理论物理学教程》丛书 —— 英语版正是贝尔参与翻译的。贝尔参与翻译的部分包括《力学》《量子力学：非相对论理论》《连续介质电动力学》与《量子电动力学》（最早版本题为“相对论性量子理论”），刚好对应于贝尔他最为擅长的研究领域。
贝尔一生中最为主要的研究方向是高能物理。从研究手段上看，既包括对粒子物理唯象学的研究，也包括在量子场论理论的研究。而从研究对象上看，贝尔的研究广度几乎涵盖了历史上对高能物理深具影响的一系列研究：CPT 定理、beta 衰变、核物理的唯象模型、中微子物理、部分子模型、量子色动力学，K 介子与 CP 破坏问题、流代数、轻强子谱学与轻强子结构，包含重夸克强子的强子谱学、规范场论、量子场论中的不稳定粒子、σ-模型、量子场论中的孤子、量子反常…… 我们无力介绍贝尔在每个方向下取得的成就，只挑选其中几项来做介绍。
首先便是贝尔在 CPT 定理中的卓越贡献。CPT 定理是量子场论中最重要的几个定理之一。它指出对于任意的满足洛伦兹不变性且其哈密顿量具有厄米性的局域量子场论，其在相继进行三种不同的离散变换 —— 荷共轭（C）、空间反演（P）与时间反演（T）—— 后的理论与之前相同。借助 CPT 定理可以得到非常多的重要推论，如正反粒子一定具有相等的质量等等。贝尔的 CPT 定理证明的论文，《场论中的时间反演》（Time Reversal in Field Theory）1955 年见刊于英国皇家学会学报（Proceedings of the Royal Society, A）。但是贝尔的运气却差了一点点。在完成这篇论文时，吕德斯（Gerhard Lüders）和泡利（Wolfgang Pauli）的工作几乎在同一时间先于贝尔得出了同样的结论（贝尔的博士论文在 1954 年发表，里面其实已经包含了 CPT 定理证明的内容）。但是贝尔的论文中给出了更普遍的证明 [40]。不仅如此，贝尔的证明还要更简单明了，与吕德斯的证明大相径庭。这也正是为什么在已经接收了吕德斯的论文后贝尔的文章仍能在英国皇家学会学报上发表的根本原因。并且时至今日，贝尔的工作可能也正如韦尔特曼（Martinus J. G. Veltman）所说，比吕德斯之后发展出的公理化场论的论证更加有意义 [41]。事实上，时间反演不变性的问题一直吸引着他，甚至可以认为是他一生研究中的主题之一。因而，他之后又去研究了 K 介子衰变中出现的 CP 破坏问题。
而贝尔与 CPT 对称性的结缘，也许对于我们更具有启发意义。贝尔的导师佩尔斯曾经读到过粒子物理实验的新闻，说似乎发现了一种带负电的粒子，这个粒子稳定，拥有较轻于质子的质量。实验的参与者询问佩尔斯这一粒子会不会是反质子，而在当时，粒子物理学家普遍相信粒子与其反粒子应该有相同的质量。但贝尔却对此表达的疑虑。贝尔天生厌恶因人们广泛持有某一观点而预设其正确性 [42]—— 贝尔想要证明它。而这一问题，如佩尔斯所言，很快就成为贝尔的一块心病。贝尔也就将其作为自己博士论文的研究课题了。
另一个需要着重介绍的是贝尔在量子反常（Quantun Anomaly）上做出的贡献。经典物理学中的诺特定理，即连续对称性与守恒律之间的对应关系，可以说是如雷贯耳。那么当一个经典理论量子化后，原本经典层面的对称性还能否保存在量子场论里呢？尽管在量子场论里仍然有对称性导致的沃德-高桥恒等式（Ward-Takahashi Identity），但事情却没有那么简单 —— 量子反常正标志着经典对称性在量子层面上的破坏。而贝尔对于规范场论中的量子反常的重要例证，即量子电动力学（QED）中的 Adler-Bell-Jackiw 反常的研究至今都是规范场论中的一个经典 [43]。这种反常所指的是，考虑 QED 的单圈修正后，在经典电动力学下守恒的电子轴矢量流无法保证守恒。ABJ 反常是学界第一个发现的量子反常，其重要性不言而喻。这对于一般的量子规范理论，无论是高能物理中的场论还是凝聚态物理中的场论，都具有重要的意义 [44]。而某种角度上说，在高能物理学的研究里，贝尔关于量子反常的研究可能比他对量子力学非定域性的研究更具影响力。一个例证便是，在高能物理常用的检索网站 Inspire HEP 上，ABJ 反常的论文的引用数要比贝尔的两篇关于量子力学基本问题的论文的引用数之和还要多。
贝尔在 CERN 一共工作了 30 年，他在这里被称为“CERN 的圣人”[45]，很多认识或不认识的同事都会向贝尔请教各种各样的问题，而贝尔也总是能一语道破问题的关键。贝尔经常说“CERN 像是一个有许多过路人的火车站”[46]，他在这里每天都可以遇到新朋友，解决新问题，同事们也无不被贝尔对科学的热情与求真的执着所打动。贝尔还在 CERN 中保持着英国人的老传统 ——4 点茶（4 o 'clock tea），也是他与朋友们畅谈的时间，不仅仅谈物理，从政治、哲学甚至艺术等等，包罗万象，放飞思想。
贝尔一生都承受着偏头疼的困扰，这个问题曾消失了几年，在他生命的最后时间里，偏头疼还是几次短暂的发生在贝尔的身上 [47]，但并没有引起他的重视。贝尔的好友莱因霍尔德・伯特曼（Reinhold Bertlmann）也曾回忆 1990 年在巴黎遇到贝尔时，他的健康状态看起来并不好 [48]。也是在这一年，贝尔因突发脑出血逝世。
贝尔的一生仿佛流星划过一般短暂。在这短短的 62 年中，他留下了极为丰富的物理遗产。他的一生都在追寻着物理学最深邃、最难以回答的问题，并愿意以此作为基点展开自己的工作，而不怕在孤独之路上踽踽独行。作为一名技术高超的理论物理工作者，他时刻保持着理论与实验的紧密关系，既愿意全身心投入到具体实验问题的解决之中，又时刻为理论的实验检验殚精竭虑。正是对理论与实验的双重求索，具体问题与哲学思考的深层交融，前人智慧与自我反思的平等较量，使得他在量子力学的基本问题探索中迈出了具有划时代意义的一步。
如果我们把一个学者一生的研究看作是一处景观，那么属于贝尔的景观，不是独木成林，不是百花争艳，不是云山雾罩，不是海纳百川，而像是一座错落有致、交相辉映的园林。尽管不是鬼斧神工的奇景，不是开天辟地的壮阔，但其人之巧思，将他对世界的理解变形为园林的布局。每当你我走过，何尝不会发出由衷的赞叹 —— 你我何其有幸，得以欣赏这般景色。
相传，在贝尔去世那年，他被提名为当年的诺贝尔物理学奖 [49]，而 2022 年的诺贝尔物理学奖毫无疑问应该有他的一份，这或许也是冥冥之中对贝尔的一种补偿。
参考文献
[1] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 11.
[2] Bertlmann R A, Zeilinger A. Quantum [Un]speakables: From Bell to Quantum Information[M]. Berlin: Springer Publishing Company，2010: 3.
[3] Andrew Whitaker. John Bell and the most profound discovery of science[EB/OL]. physicsworld. https://physicsworld.com/a/john-bell-profound-discovery-science/.
[4] Fane Street Primary School and Nursery Unit. History[EB/OL]. Memories from past pupils.... http://www.fanestreet.co.uk/memories/history.
[5] Bell M. Bell the vegetarian[J]. Physics Today, 2016, 69(8):12-12.
[6] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity [M]. UK: Oxford University Press, 2016: 4. 照片略有截取.
[7] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 28.
[8] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 12.
[9] Bernstein J. John Bell and the Identical Twins[J]. Physics in Perspective, 2008, 10(3):269-286.
[10] Bernstein J. John Bell and the Identical Twins[J]. Physics in Perspective, 2008, 10(3):269-286.
[11] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016:32.
[12] [美] 阿米尔・艾克塞尔.纠缠态 [M]. 庄星来译，上海: 上海科学技术文献出版社，2008: 106.
[13] Bernstein J. John Bell and the Identical Twins[J]. Physics in Perspective, 2008, 10(3):269-286.
[14] Omni. Interview: John Bell[EB/OL]. https://cds.cern.ch/record/715366?ln=zh_CN.
[15] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 66-67.
[16] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 82.
[17] Bertlmann R A, Zeilinger A. Quantum [Un]Speakables II[M]. Springer International Publishing, 2017: 30.
[18] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 97.
[19] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 129.
[20] Jackiw, Roman, Shimony, et al. The Depth and Breadth of John Bell's Physics[J]. Physics, 2001, 4(4):78-116.
[21] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 130.
[22] Bell J S. Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics[M]. New York: Cambridge Press，1987: X.
[23] Bertlmann R A, Zeilinger A. Quantum [Un]Speakables II[M]. Springer International Publishing, 2017: 32.
[24] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 46.
[25] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 55.
[26] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 57.
[27] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 104.
[28] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 123.
[29] [美] 阿米尔・艾克塞尔.纠缠态 [M]. 庄星来译，上海: 上海科学技术文献出版社，2008: 107.
[30] [美] 阿米尔・艾克塞尔.纠缠态 [M]. 庄星来译，上海: 上海科学技术文献出版社，2008: 108.
[31] Bell J S . On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox[J]. Physics. 1964. Vol. 1, No. 3f pp. 195—200
[32] Jammer M . John Stewart Bell and his work—On the occasion of his sixtieth birthday[J]. Foundations of Physics, 1990, 20(10):1139-1145.
[33] [英] 戴维，布朗.原子中的幽灵 [M].易心洁译，长沙: 湖南科学技术出版社，1992: 43.
[34] Bernstein J. John Bell and the Identical Twins[J]. Physics in Perspective, 2008, 10(3):269-286.
[35] Bell M, Gottfried K, Veltmsn M. Quantum mechanics, high energy physics and accelerators[M]. World Scientific, 1995: 2.
[36] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 95.
[37] Bertlmann R A, Zeilinger A. Quantum [Un]speakables: From Bell to Quantum Information[M]. Berlin: Springer Publishing Company，2010: 3.
[38] Bell M, Gottfried K, Veltmsn M. Quantum mechanics, high energy physics and accelerators[M]. World Scientific, 1995: 3.
[39] Bell M, Gottfried K, Veltmsn M. Quantum mechanics, high energy physics and accelerators[M]. World Scientific, 1995: 41.
[40] Wikipedia.Gerhart Lüders[EB/OL].https://en.wikipedia.org/wiki/Gerhart_L%C3%BCders.
[41] Bell M, Gottfried K, Veltmsn M. Quantum mechanics, high energy physics and accelerators[M]. World Scientific, 1995: 3.
[42] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 143.
[43] Bell M, Gottfried K, Veltmsn M. Quantum mechanics, high energy physics and accelerators[M]. World Scientific, 1995: 4.
[44] 何祚庥，侯德彭.量子力学的丰碑: 纪念德布罗意百年诞辰 [M]. 桂林: 广西师范大学出版社，1994: 110.
[45] Bertlmann R A. John Stewart Bell—Physicist and moralizer[J]. Foundations of Physics, 1990, 20(10):1135-1138.
[46] Bertlmann R A, Zeilinger A. Quantum [Un]Speakables II[M]. Springer International Publishing, 2017: 4.
[47] Bertlmann R A, Zeilinger A. Quantum [Un]speakables[M]. Springer, 2002: 5.
[48] Andrew Whitaker. John Stewart Bell and twentieth-century Physics: Vision and integrity[M]. UK: Oxford University Press, 2016: 385.
[49] Bernstein J. John Bell and the Identical Twins[J]. Physics in Perspective, 2008, 10(3):269-286.
出品：科普中国
加载中,请稍侯......