北大揭秘春晚刘谦魔术，背后其实是数学问题（附魔术步骤）

IT之家 2 月 11 日消息，刘谦在今年春晚表演的魔术引发网友热议，对此，北京大学官方公众号进行了详细解读，并揭秘背后的数学问题 ——“约瑟夫问题”。

魔术操作步骤：

步骤 1：将准备好的 4 张扑克牌平均撕成两份，并叠在一起。

步骤 2：将牌堆顶数量为【名字字数】的牌移至牌堆底。

步骤 3：将前三张牌放在牌堆中间并取出牌堆顶的牌，放置在一旁。

步骤 4：取出牌堆顶的若干张牌插入牌堆中间，此处选择的牌数为南方人取 1 张，北方人取 2 张，若不确定是南方人还是北方人取 3 张。

步骤 5：男生扔掉牌堆顶 1 张，女生扔掉牌堆顶 2 张。

步骤 6：执行“见证奇迹的时刻”循环，每说一个字，就取出牌堆顶一张牌放置在牌堆底。

步骤 7：从牌堆顶开始，每次先将牌堆顶的一张牌放在牌堆底，再扔掉牌堆顶的一张牌，重复以上操作直到只剩一张牌，检查此牌和放置在一旁的牌是否吻合。若吻合，则魔术成功。

魔术步骤揭秘：

步骤一

我们令选择的四张扑克牌分别为 1234，将他们分别撕开后，产生了标号分别为 1234 的两套（半张）扑克牌，叠在一起后形成了从上至下标号分别为 12341234 的扑克牌堆。

▲ 图源北京大学公众号，下同步骤二

此时我们可以注意到，无论我们将牌堆顶的多少张牌移到堆底，得到的扑克牌堆编号（IT之家注：从上至下）都只会有以下几种结果：

12341234（名字字数被四整除）

23412341（名字字数模四余一）

34123412（名字字数模四余二）

41234123（名字字数模四余三）

观察以上可能的牌堆，我们可以发现产生的牌堆都具有以下性质：

1. 前四张牌和后四张牌的顺序完全一样

2. 前四张牌和后四张牌分别是 1234 的一个轮换

步骤三

从这一步开始，我们只考虑当前牌堆中排在第四及第八的两张牌，记为 X，其他牌记为 0。那么根据上一步的讨论，可以得到当前的牌堆形如：000X000X。

将前三张放在牌堆中间后，无论这三张放在什么位置，最终产生的牌堆都将是：X000000X。

于是乎，被选择的用于配对的牌就将是 X，而另一张与之配对的牌（称为目标牌）将位于牌堆底。

步骤四

在上一步之后，牌堆的编号为 000000X，于是，无论本轮中选择牌堆顶多少张牌插入牌堆中，都不会影响目标牌的位置，仍然处于牌堆底部。

步骤五

此时男生的牌堆为：00000X。女生的牌堆为：0000X。

步骤六

通过尝试可知，在经过步骤六后将得到如下的牌堆：

男生：0000X0

女生：00X00

步骤七

到此，便完成刘谦本次魔术的步骤揭秘，北京大学进一步解释称这其实是一个“约瑟夫问题”：

设有编号为 1，2，……，n 的 n 个人围成一个圈，从第 1 个人开始报数，报到 m 时停止报数，报 m 的人出圈。再从他的下一个人起重新报数，报到 m 时停止报数，报 m 的出圈...... 按照这个规则进行下来，直到所有人全部出圈为止。求最后留下来的人编号。

为了使问题简化，我们考虑 n 个人编号为 0 ~ n-1 的情况，每 m 个人退出一个人，我们称之为（n,m）问题。第一个人（即编号为在模 n 下同余 m 的人）退出之后，对剩下的 n-1 个人重新编号，则新问题的 k 号在原问题中对应 k+m 号。因此（n, m）问题的解 J (n, m) = J (n-1, m)+m 且 J (1, m) = 1（模 n 意义下）。据此，通过递推的方法可以得到 J (n, m)。在实践中，约瑟夫问题一般用代码进行求解。刘谦的魔术中使用的便是 m=2 的特殊情况。

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